已知P(0,4),圆O,x^2+y^2=4.过P作直线l与圆相交于AB.M(1,0).若∠AMB=90°,求直线l方程

Question

已知P(0,4),圆O,x^2+y^2=4.过P作直线l与圆相交于AB.M(1,0).若∠AMB=90°,求直线l方程

Answer 1

设直线L方程为 y=kx+4 ,代入圆的方程得 x^2+(kx+4)^2=4 ,
化简得 (k^2+1)x^2+8kx+12=0 ,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 x1+x2= -8k/(k^2+1) ,x1*x2=12/(k^2+1) ,（1）
因此 y1*y2=(kx1+4)*(kx2+4)=k^2*x1x2+4k(x1+x2)+16 ,（2）
由于 AM丄BM ,因此 MA*MB=0 ,
即 (x1-1)(x2-1)+y1*y2=0 ,
展开得 x1*x2-(x1+x2)+1+y1*y2=0 ,
将 （1）（2）代入上式,可得
(k^2+1)*x1x2+(4k-1)*(x1+x2)+17=0 ,
12-8k(4k-1)/(k^2+1)+17=0 ,
29(k^2+1)=8k(4k-1)
3k^2-8k-29=0
解得 k=(8±√412)/6=(4±√103)/3 ,
所以,L 方程为 y=(4±√103)/3*x+4 .