如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连接DE，DF．（1）求证：△BEF∽△CEG；

Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连接DE，DF．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由；
（3）设BE=x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DG，
所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
所以△BEF∽△CEG．
（2）△BEF与△CEG的周长之和为定值．
理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴(AB)/(BC)＝(AM)/(CH)
由BC=10，AB=5，AM=4，
可得CH=8，
∴BH=6，
所以BC+CH+BH=24；
理由二：由AB=5，AM=4，可知：
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：EF=(4)/(5)BE，BF=(3)/(5)BE，GE=(4)/(5)EC，GC=(3)/(5)CE，
所以，△BEF的周长是(12)/(5)BE，△ECG的周长是(12)/(5)CE，
又BE+CE=10，因此△BEF与△CEG的周长之和是24．
（3）设BE=x，则EF=(4)/(5)x，GC=(3)/(5)（10-x），
所以y=(1)/(2)EF•DG=(1)/(2)•(4)/(5)x[(3)/(5)（10-x）+5]=-(6)/(25)x²+(22)/(5)x，
配方得：y=-(6)/(25)（x-(55)/(6)）²+(121)/(6)．
所以，当x=(55)/(6)时，y有最大值．
最大值为(121)/(6)．