定义在R上的函数FX=ax（3）次方+bX（2）次方+cx+d满足：函数的图像关于原点对称,且过点（3.-6）,在X1,X2处取得极值,且（X1-X2)的绝对值为4求FX的表达式请问这道题的突破口在哪?很容易可以求得d

Question

定义在R上的函数FX=ax（3）次方+bX（2）次方+cx+d满足：函数的图像关于原点对称,且过点（3.-6）,在X1,X2处取得极值,且（X1-X2)的绝对值为4 求FX的表达式
请问这道题的突破口在哪?很容易可以求得d为O,可是剩下的三个未知数如何更好的联系在一起求解?我曾尝试过将 （X1-X2)的绝对值为4 平方后计算,结合韦达定理,可以依然没有什么突破

Answer 1

FX=ax（3）次方+bX（2）次方+cx+d
因为 函数的图像关于原点对称
所以b d 都为0
又过点（3.-6）
得27a+3c=-6 即 9a+c+2=0
求导得fx=3ax^2+2bx+c
在X1,X2处取得极值
得X1,X2为3ax^2+2bx+c=0的2个根
（X1-X2)的绝对值为4 平方后计算
（X1-X2)^2=（X1+X2)^2-4X1X2=16
结合韦达定理 又得到一个关于a c的式子
2个式子2个未知数
很显然.
主要你没注意到关于原点对称b也为0
记住 只要关于原点对称的函数 0次 2次 4次 等偶次幂系数都为0