求这个无穷级数的和函数x-x^3/3+x^5/5-x^7/7……请给出具体的解题步骤

Question

求这个无穷级数的和函数
x-x^3/3+x^5/5-x^7/7……
请给出具体的解题步骤

Answer 1

f(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7……
两边求导：
f'(x)=1-x^2+x^4-x^6+...
是一个公比为-x^2的等比级数
f'(x)=1/(1+x^2) (其中,|x|<1)
所以f(x) - f(0)=∫{0到x} f'(x)dx
=∫{0到x}[1/(1+x^2)]dx
=arctan(x)
由于f(0)=0
所以本题答案为：
arctan(x) (其中,|x|<1)