若集合A={x/x=a二次方+b二次方,a,b∈Z},x1,x2∈A,证明:x1*x2∈A

Question

若集合A={x/x=a二次方+b二次方,a,b∈Z},x1,x2∈A,证明:x1*x2∈A

Answer 1

设x1=a²＋b²,x2=c²＋d²,其中a、b、c、d都是整数,则：
x1x2=(a²＋b²)(c²＋d²)
=a²c²＋a²d²＋b²c²＋b²d²
=(a²c²＋2abcd＋b²d²)＋(a²d²－2abcd＋b²c²)
=(ac＋bd)²＋(ad－bc)²
因a、b、c、d是整数,则ac＋bd、ad－bc都是整数,则x1x2∈A