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设a>0,b>0,且a+b=1求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2
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设a>0,b>0,且a+b=1求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2
▼优质解答
答案和解析
(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
=4+a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)
=4+(a^2+b^2)[1+1/(a^2*b^2)]
=4+(1-2ab)[1+(1/ab)^2]
显然,随着ab值的增大,值会减小；
即ab取最大值时,(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2有最小值；
2ab
=4+a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)
=4+(a^2+b^2)[1+1/(a^2*b^2)]
=4+(1-2ab)[1+(1/ab)^2]
显然,随着ab值的增大,值会减小；
即ab取最大值时,(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2有最小值；
2ab
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