如果a>b>c,则式子a-b分之1+b-c分之1+c-a分之1的符号位恒正?恒负?非负?

Question

如果a>b>c,则式子a-b分之1+b-c分之1+c-a分之1的符号位 恒正?恒负?非负?

Answer 1

恒为正.［请注意括号的正确使用,以免造成误解.另外,题中的“位”应是“为”.］
∵a＞b＞c,∴（b－c）＞0、（a－c）＞0、（b－c）＞0,∴－（a－c）（b－c）＜0,
∴（a－c）（c－b）＜0,∴（a－c）［（a－b）－（a－c）］＜0,
∴（a－c）（a－b）－（a－c）^2＜0,∴（a－c）（a－b）＜（a－c）^2,
∴a－c＜（a－c）^2/（a－b）.······①
∵a＞b,∴b－c＜a－c,∴b－c＜a－c.······②
由①、②,得：b－c＜（a－c）^2/（a－b）,∴（a－b）（b－c）＜（a－c）^2,
∴（a－c）（c－a）＋（a－b）（b－c）＜0.······③
显然有：（a－c）（a－b）（b－c）＞0,∴③式的两边同除以（a－c）（a－b）（b－c）,得：（c－a）/［（a－b）（b－c）］＋1/（a－c）＜0,
∴（a－c）/［（a－b）（b－c）］＋1/（c－a）＞0,
∴［（a－b）＋（b－c）］/［（a－b）（b－c）］＋1/（c－a）＞0,
∴1/（a－b）＋1/（b－c）＋1/（c－a）＞0.
注：若原题中需要判断符号的式子不是我所猜测的那样,则请你补充说明.