已知函数f（x）=2x+5−x（Ⅰ）求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=2√(x)+√(5−x)
（Ⅰ）求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由柯西不等式可得（2√(x)+√(5−x)）²≤（2²+1²）[（√(x)）²+（√(5−x)）²]=25
∴f（x）=2√(x)+√(5−x)≤5，当且仅当(√(x))/(2)＝(√(5−x))/(1)，即x=4时等号成立；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，等价于|m-2|≥5，
∴m≥7或m≤-3．