利用动态规划方法求解每对节点之间的最短路径问题(all pairs shortest path problem)时,设有向图

Question

利用动态规划方法求解每对节点之间的最短路径问题(all pairs shortest path problem)时，设有向图 G=＜V,E＞共有n个节点，节点编号1～n，设C是G的成本邻接矩阵，用Dk(I,j)即为图G中节点i到j并且不经过编号比k还大的节点的最短路径的长度(Dn(i,j)即为图G中节点i到j的最短路径长度)，则求解该问题的递推关系式为(62)。

A．Dk(I,j)=Dk-1(I,j)+C(I,j)

B．Dk(I,j)=Dk-1(I,k)+Dk-1(k,j)

C．Dk(I,j)=min{Dk-1(I,j),Dk-1(I,j)+C(I,j)}

D．Dk(I,j)=min{Dk-1(I,j),Dk-1(I,K)+Dk-1(k,j)}

Answer 1

正确答案：D
解析：设P^k(I,j)表示从i到j并且不经过编号比k还大的节点的最短路径，那么P^k(I,j)有以下两种可能：
  ①P^k(I,j)经过编号为k的节点，此时P^k(I,j)可以分为从i到k和从k到j的两段，易知P^k(I,j)的长度为D^k-1(I,k)+D^k-1(k,j)；
  ②P^k(I,j)不经过编号为k的节点，此时P^k(I,j)的长度为D^k-1(I,j)。
  因此，求解该问题的递推关系式为：D^k(I,j)=min{D^k-1(I,j),D^k-1(I,k)+D^k-1(k,j)}。