利用动态规划方法求解每对结点之间的最短路径问题(a11 pairs shortest path problem)时,设有向图

Question

利用动态规划方法求解每对结点之间的最短路径问题(a11 pairs shortest path problem)时，设有向图G=＜V，E＞共有n个结点，结点编号1～n，设C是G的成本邻接矩阵，用Dk(i，j)表示从i到j并且不经过编号比众还大的结点的最短路径的长度(Dn(i，j即为图G中结点i到j的最短路径长度)，则求解该问题的递推关系式为(56)。

A．Dk(i，j)；Dk-1(i，j)+C(i，j)

B．Dk(i，j)：min{Dk-1(i，j),Dk-1(i，j)+C(i，j)}

C．Dk(i，j)：Dk-1(i，k)+Dk-1(i，j)

D．Dk(i，j)；min{Dk-1(i，j),Dk-1(i，k)+Dk-1(k，j)}

Answer 1

正确答案：D
解析：设p^k(i，j)表示从i到j并且不经过编号比k还大的结点的最短路径，那么p^k(i，j)有以下两种可能：
  ①p^k(i，j)经过编号为k的结点，此时p^k(i，j)可以分为从i到k和从k到j的两段，易知产p^k(i，j)的长度为D^k-1(i，k)+D^k-1(k，j)。
  ②p^k(i，j)不经过编号为k的结点，此时产p^k(i，j)的长度为D^k-1(i，j)。