证明与找错已知P,Q是椭圆9x^2+16y^2=1上的两个动点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则点O到弦PQ的距离是多少?请解答上题,并指出下面做法的错误.设P（1/3cosθ,1/4sinθ）,则Q(-1/3sinθ,1/4cosθ）.（这里设Q由P逆

Question

证明与找错
已知P,Q是椭圆9x^2+16y^2=1上的两个动点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则点O到弦PQ的距离是多少?
请解答上题,并指出下面做法的错误.
设P（1/3 cosθ,1/4sinθ）,则Q(-1/3sinθ,1/4cosθ）.（这里设Q由P逆时针转π/2得到）
S△OPQ=丨OP X OQ 丨/2=[1/12(sin^2θ+cos^2θ）]/2=1/24
上面OP,OQ都为向量.这里用了外积的坐标运算丨OPxOQ丨=丨x1y2-x2y1丨
再算弦PQ的长,解出O到PQ的距离.
但取两组特殊点（1/5,1/5) (-1/5,-1/5) 和(1/4,0) (0,1/3)可以验证△OPQ的面积不是定值.那么上述解答错在哪里?

Answer 1

椭圆的那个参数θ,并不是椭圆上点对应的幅角.所以你设定的PQ两点一般并不垂直.
算一下内积就知道了.

=cosθsinθ(1/16-1/9) 非0,所以不垂直.