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(2014•潮州二模)某汽车驾驶学校在学员结业前,对学员的驾驶技术进行4次考核,规定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核.若学员小李独立参加

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(2014•潮州二模)某汽车驾驶学校在学员结业前,对学员的驾驶技术进行4次考核,规定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核.若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
1
8
的等差数列,他参加第一次考核合格的概率不超过
1
2
,且他直到第二次考核才合格的概率为
9
32

(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P1
(2)求小李参加考核的次数ξ的数学期望.
▼优质解答
答案和解析
(1)小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
1
8
的等差数列,
且他直到第二次考核才合格的概率为
9
32

得(1-p1)(p1+
1
8
)=
9
32

解得p1=
1
4
或p1=
5
8

∵p1
1
2
,∴p1=
1
4

即小李第一次参加考核就合格的概率为
1
4

(2)由(1)的结论知,ξ的可能取值是1,2,3,4
小李四次考核每次合格的概率依次为
1
4
3
8
1
2
5
8

∴P(ξ=1)=
1
4
,P(ξ=2)=
9
32

P(ξ=3)=(1-
1
4
)(1-
3
8
1
2
=
15
64

P(ξ=4)=(1-
1
4
)•(1-
3
8
)•(1-
1
2
)•1=
15
64

∴小李参加测试的次数的数学期望为Eξ=1•
1
4
+2•
9
32
+3•
15
64
+4•
15
64
=
157
64
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