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若对任意x∈A,y∈B,(A、B⊆R)有唯一确定的f(x,y)与之对应,称f(x,y)为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x、y的广义“距离”:(1)非负性
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若对任意x∈A,y∈B,(A、B⊆R)有唯一确定的f(x,y)与之对应,称f(x,y)为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x、y的广义“距离”:
(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y=0时取等号;
(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.
今给出四个二元函数:
①f(x,y)=x2+y2;
②f(x,y)=(x-y)2
③f(x,y)=
;
④f(x,y)=sin(x-y).
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的所有序号是______.
(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y=0时取等号;
(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.
今给出四个二元函数:
①f(x,y)=x2+y2;
②f(x,y)=(x-y)2
③f(x,y)=
x−y |
④f(x,y)=sin(x-y).
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的所有序号是______.
▼优质解答
答案和解析
①对于函数f(x,y)=x2+y2:满足非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y=0时取等号;满足对称性:f(x,y)=f(y,x);
∵f(x,z)+f(z,y)=x2+z2+z2+y2≥x2+y2=f(x,y)对任意的实数z均成立,因此满足三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y).可知f(x,y)能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数.
②f(x,y)=(x-y)2≥0,但是不仅x=y=0时取等号,x=y≠0也成立,因此不满足新定义:关于的x、y的广义“距离”的函数;
③f(x,y)=
,若f(x,y)=
成立,则f(y-x)=
不一定成立,即不满足对称性;
④同样f(x,y)=sin(x-y)不满足对称性.
综上可知:只有①满足新定义,能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数.
故答案为①.
∵f(x,z)+f(z,y)=x2+z2+z2+y2≥x2+y2=f(x,y)对任意的实数z均成立,因此满足三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y).可知f(x,y)能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数.
②f(x,y)=(x-y)2≥0,但是不仅x=y=0时取等号,x=y≠0也成立,因此不满足新定义:关于的x、y的广义“距离”的函数;
③f(x,y)=
x−y |
x−y |
y−x |
④同样f(x,y)=sin(x-y)不满足对称性.
综上可知:只有①满足新定义,能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数.
故答案为①.
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