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如图,以Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=4,OB=3,一动点P从O出发沿OA方向,以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动,到
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如图,以Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=4,OB=3,一动点P从O出发沿OA方向,以每秒1个 单位长度的速度向A点匀速运动,到达A点后立即以原速沿AO返回;点Q从A点出发 沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动.当Q到达B时,P、Q两点同时停止 运动,设P、Q运动的时间为t秒(t>0). (1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式; (2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折,使得点A恰好落在AB边的点D处,如图①. 求出此时△APQ的面积. (3) 在点P从O向A运动的过程中,在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯 形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. (4) 伴随着P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点F. 当DF经过原点O时,请直接写出t的值. |
▼优质解答
答案和解析
略 |
(1)在Rt△AOB中,OA=4,OB=3 ∴AB= ①P由O向A运动时,OP=AQ=t,AP=4-t 过Q作QH⊥AP于H点,由QH//BO得 ∴ 即 (0<t≤4) ②当4<t≤5时,AP=t-4 AQ=t sin∠BAO= OH= ∴ = ··············(4分) (2)由题意知,此时△APQ≌△DPQ ∠AQP=900 ∴cosA= 当0<t≤4 ∴ 即 当4<t≤5时, t=-16(舍去) ∴ ···············(6分) (3)存在,有以下两种情况 ①若PE//BQ,则等腰梯形PQBE中PQ=BE 过E、P分分别作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N 则有BM=QN,由PE//BQ得 ∴ 又∵AP=4-t, ∴AN= ∴ 由BM=QN,得 ∴ ∴ ···································(8分) ②若PQ//BE,则等腰梯形PQBE中 BQ=EP且PQ⊥OA于P点 由题意知 ∵OP+AP="OA " ∴ ∴ t··············(10分) 由①②得E点坐标为 (4)①当P由O向A运动时,OQ=OP=AQ=t 可得∠QOA=∠QAO ∴∠QOB=∠QBO ∴OQ="BQ=t " ∴BQ=AQ= AE ∴ ······················(11分) ②当P由A向O运动时,OQ=OP=8-t BQ=5-t, 在Rt△OGQ中,OQ2 =" RG2" + OG2 即(8-t)2 = ∴t = 5·························(12分) |
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