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设A、B是非空数集,若对任意x∈A,y∈B,都有唯一确定的f(x,y)与之对应,则称f(x,y)为关于x,y的二元函数,现定义满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x,y的广义“距离”.
题目详情
设A、B是非空数集,若对任意x∈A,y∈B,都有唯一确定的f(x,y)与之对应,则称f(x,y)为关于x,y的二元函数,现定义满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x,y的广义“距离”.
(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;
(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.
给出下列三个二元函数:
①f(x,y)=
;②f(x,y)=(x-y)2;③f(x,y)=|x-y|.
其中能够成为关于x,y的广义“距离”的函数的序号是 ___.(填上所有正确命题的序号)
(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;
(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.
给出下列三个二元函数:
①f(x,y)=
x-y |
其中能够成为关于x,y的广义“距离”的函数的序号是 ___.(填上所有正确命题的序号)
▼优质解答
答案和解析
由所给的定义
对于①,由于x-y>0时,f(x,y)=
;无意义,故①不对;
∵②f(x,y)=(x-y)2;
∴满足非负性,对称性,
但是x,y互为异号时,z=0时,不满足(x-y)2≤x2+y2,∴不满足三角形不等式,
故②不正确,
对于③f(x,y)=|x-y|,显然f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号,故满足非负性,又|x-y|=|y-x|,故对称性成立,又|x-y|=|x-z+z-y|≤|x-z|+|z-y|,故第三个性质也满足,③符合题意
故答案为:③
对于①,由于x-y>0时,f(x,y)=
x-y |
∵②f(x,y)=(x-y)2;
∴满足非负性,对称性,
但是x,y互为异号时,z=0时,不满足(x-y)2≤x2+y2,∴不满足三角形不等式,
故②不正确,
对于③f(x,y)=|x-y|,显然f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号,故满足非负性,又|x-y|=|y-x|,故对称性成立,又|x-y|=|x-z+z-y|≤|x-z|+|z-y|,故第三个性质也满足,③符合题意
故答案为:③
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