已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为(√6)/3已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号下6/3,短轴的一个端点到右焦点的距离是根号下3(1)求椭圆C的方程(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为(√6)/3
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号下6/3,短轴的一个端点到右焦点的距离是根号下3
(1)求椭圆C的方程
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点到直线l的距离为(√3)/2,求△AOB面积的最大值.

Answer 1

(1)
依题意,得 短轴一个端点到右焦点的距离为√3,从而 a=√3,
又 e=3分之√6
从而 c/a=(√6)/3,c=√2得出 b=1
从而椭圆C为 x^2/3+y^2=1
(2)
把直线看做以原点为圆心,半径为√3/2的圆的切线,作平行于X轴的切线交椭圆于A,B
此时AB最长
设A,B的坐标为A(x1.y1) B(x2,y2)
则y1=y2=坐标原点O到直线L的距离
那么 y=√3/2
代入 x^2/3+y^2=1
得 x=±√3/2
|AB|max=|2*x|=√3
∴三角形ABC面积的最大值=1/2*d(O--L)*|AB|
=1/2*√3*√3/2
=3/4