下面让我们来探究有关材料的利用率问题：工人师傅要充分利用一块边长为100cm的正三角形簿铁皮材料（如图1）来制作一个圆锥体模型（制作时接头部分所用材料不考虑）．（1）求这块三角

Question

下面让我们来探究有关材料的利用率问题：工人师傅要充分利用一块边长为100cm的正三角形簿铁皮材料（如图1）来制作一个圆锥体模型（制作时接头部分所用材料不考虑）．
（1）求这块三角形铁皮的面积（结果精确到0.01cm²）；
（2）假如要制作的圆锥是一个无底面的模型，且使三角形铁皮的利用率最高，请你在图2中画出裁剪方案的草图，并计算出铁皮的利用率（精确到1%）；
（3）假如要用这块铁皮裁一块完整的圆形和一块完整的扇形，使之配套，恰好做成一个封闭圆锥模型，且使铁皮得到充分利用，请你设计一种裁剪方案，在图3中画出草图，并计算出铁皮的利用率（精确到1%）．

Answer 1

（1）过点A作AD⊥BC于点D．
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝(1)/(2)BC＝50，（2分）
根据勾股定理得：AD＝√(1002−502)＝50√(3)，（3分）
∴S_△ABC=(1)/(2)×100×50√(3)＝2500√(3)≈4330．（4分）

（2）如图：当扇形与BC边相切时，三角形铁皮的利用率最高．（6分）
S＝(60)/(360)×π×(50√(3))2
=(1)/(6)×π×7500
=1250π≈3925
∴利用率≈(3925)/(4330)×100%≈91%．
（8分）


（3）方案1：
如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与BC相切于点E，
则A，E，O，D在同一直线上，且AE⊥BC．（9分）
设扇形半径为x，⊙O半径为y，
则有x+2y＝50√(3)
(60πx)/(180)＝2πy（10分）
y＝(25)/(4)√(3)≈54.13
x＝(75)/(2)√(3)≈65.0
∴利用率≈60%．（13分）

方案2：
如图，⊙O与半圆⊙D相切于点E，⊙O与AB，AC相切于点F，G，
连接OF，则OF⊥AB，设⊙D的半径为x，设⊙O的半径为y，
∵∠BAD=30°，
∴AO=2y．（9分）
3y+x＝50√(3)
πx=2πy（10分）（13分）
∴x＝20√(3)
y＝10√(3)（12分）
利用率≈65%．（13分）
方案3：
如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与AB，BC分别相切于点F，G，
连接A0，0F，OB，
则AO过点E，OF⊥AB，BO平分∠ABC，
设⊙O的半径为y，扇形的半径为x，
则有OB=2y，BF=√(3)y．（9分）
∵(60πx)/(180)＝2πy，
∴x=6y，（10分）
∴AF＝√((7y)2−y2)＝√(48)y＝4√(3)y．
∵AF+BF=100，
∴4√(3)y+√(3)y＝100，
∴y＝(20)/(3)√(3)
x＝40√(3)（12分）
利用率≈68%．（13分）