已知四次多项式f（x）的4个根构成等差数列.求证：f（x）的导数的3个根也成等差数列

Answer 1

设f(x)=m(x-a)(x-b)(x-c)(x-d),其中m不等于0,即a、b、c、d为f(x)的四个根,再根据等差条件假设b=a+k,c=a+2k,d=a+3k.
f(x)的导数为：
g(x)=f'(x)=m[(x-b)(x-c)(x-d)+(x-a)(x-c)(x-d)+(x-a)(x-b)(x-d)+(x-a)(x-b)(x-c)],
将其中的二三项合并,一四项合并,并将b=a+k,c=a+2k,d=a+3k代入,得：
g(x)=[2x-(2a+3k)][2x*x-2(2a+3k)x+ad+bc],
由第一项知道g(x)的一个根为x1=a+1.5k；
由第二项的二次方程可知g(x)的另外两个根x2、x3的和为：x2+x3=2(2a+3k)/2=2a+3k,
因此x2+x3=x1+x1
即x3-x1=x1-x2,
即f'(x)的三个根x3、x1、x2按顺序成等差数列.
够详细了吧.