在平面直角坐标系中,已知O坐标原点.点A（3.0）,B（0.4）以点A为旋转中心,把三角ABO顺时针旋转,得三角形ACD,记旋转角为α,∠ABO为β.（I）当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标；（II）当旋

Question

在平面直角坐标系中,已知O坐标原点.点A（3.0）,B（0.4）以点A为旋转中心,把三角ABO顺时针旋转,
得三角形ACD,记旋转角为α,∠ABO为β.
（I）当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标；（II）当旋转后满足BC//x轴时求α与β之间的数量关系（III）当旋转后满足∠AOD=β时求直线CD的解析式

Answer 1

（1）∵点A（3,0）,B（0,4）,得OA=3,OB=4,
∴在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB= OA2+OB2=5,
根据题意,有DA=OA=3．
如图①,过点D作DM⊥x轴于点M,
则MD∥OB,
∴△ADM∽△ABO．有 ADAB=AMAO=DMBO,
得 AM=ADAB•AO=35×3=95,
∴OM= 65,
∴ MD=125,
∴点D的坐标为（ 65,125）．
（2）如图②,由已知,得∠CAB=α,AC=AB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴在△ABC中,
∴α=180°-2∠ABC,
∵BC∥x轴,得∠OBC=90°,
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β,
∴α=2β；
（3）若顺时针旋转,如图,过点D作DE⊥OA于E,过点C作CF⊥OA于F,
∵∠AOD=∠ABO=β,
∴tan∠AOD= DEOE= 34,
设DE=3x,OE=4x,
则AE=3-4x,
在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2,
∴9=9x2+（3-4x）2,
∴x= 2425,
∴D（ 9625,7225）,
∴直线AD的解析式为：y= 247x- 727,
∵直线CD与直线AD垂直,且过点D,
∴设y=- 724x+b,
则b=4,
∴直线CD的解析式为y=- 724x+4,
若顺时针旋转,则可得直线CD的解析式为y= 724x-4．
∴直线CD的解析式为y=- 724x+4或y= 724x-4．