在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=3,OC=2,动点D在线段BC上移动,联结OD,作DE⊥OD交边AB于点E,联结OE,设CD的长为t.(1)当t=1时,求直线DE的解析式；（2）设梯形COEB的面

Question

在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=3,OC=2,动点D在线段BC上移动,联结OD,作DE⊥OD交边AB于点E,联结OE,设CD的长为t.
(1)当t=1时,求直线DE的解析式；
（2）设梯形COEB的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围；
（3）是否存在t的值,使得OE的长取最小值?若存在,求此时t的值并求出E的坐标；若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）由已知得D（1,2）
所以我们得到OD：y=2x（0≤x≤1）
所以DE的斜率为-3/4
所以DE：y=-3/4x+11/4（1≤x≤3）
（2）由已知得D（t,2）
所以OD：y=2/t x（0≤x≤t）
所以DE：y=-t/2 x +2+t的平方/2（t≤x≤3）
所以E（3,-3t/2+2-t的平方/2）
此时可求出梯形的面积
(3)存在这样的t,使得OE长取最小值
OE的平方=OA的平方+AE的平方
OA为定值 所以求OE的最小值就是求AE的最小值
由第二问得E（3,-3t/2+2-t的平方/2）
所以AE的最小值就是-t的平方/2-3t/2+2的最小值
又因为AE大于等于0 所以AE的最小值为0
此时OE最小值等于OA的值为3