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limx趋向于0 (sinx/x)^1/(1-cosx) 洛必达法则
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limx趋向于0 (sinx/x)^1/(1-cosx) 洛必达法则
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答案和解析
罗必塔法则公式
limu^v=e^（limvlnu）【适用于求1^无穷,无穷^0,0^0型极限】
这里u=sinx/x,v=1/（1-cosx）
limvlnu=lim[ln（sinx/x）]/（1-cosx）
罗必塔法则分子求导[ln（sinx/x）]'=（x/sinx）[（xcosx-sinx）/x²]=（xcosx-sinx）/xsinx
分母求导（1-cosx）'=sinx
于是limvlnu=lim（xcosx-sinx）/xsin²x
还看不出结果,继续求导
分子求导cosx-xsinx-cosx=-xsinx
分母求导sin²x+2xsinxcosx=sinx（sinx+2xcosx）
limvlnu=-x/（sinx+2xcosx）
可以选择再次求导【或等价无穷小代换】【代换可以换分子为-sinx】
求导
分子-1,极限为-1
分母cosx+2cosx-2xsinx,极限为3
于是limvlnu=-1/3
limu^v=e^（-1/3）
limu^v=e^（limvlnu）【适用于求1^无穷,无穷^0,0^0型极限】
这里u=sinx/x,v=1/（1-cosx）
limvlnu=lim[ln（sinx/x）]/（1-cosx）
罗必塔法则分子求导[ln（sinx/x）]'=（x/sinx）[（xcosx-sinx）/x²]=（xcosx-sinx）/xsinx
分母求导（1-cosx）'=sinx
于是limvlnu=lim（xcosx-sinx）/xsin²x
还看不出结果,继续求导
分子求导cosx-xsinx-cosx=-xsinx
分母求导sin²x+2xsinxcosx=sinx（sinx+2xcosx）
limvlnu=-x/（sinx+2xcosx）
可以选择再次求导【或等价无穷小代换】【代换可以换分子为-sinx】
求导
分子-1,极限为-1
分母cosx+2cosx-2xsinx,极限为3
于是limvlnu=-1/3
limu^v=e^（-1/3）
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