如图，以△ABC的各边为边，在BC的同一侧作等边三角形DBC，等边三角形ABE，等边三角形△ACF．（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；（2）△ABC满足何条件，四边形AEDF是菱形？请说明理由．

Question

如图，以△ABC的各边为边，在BC的同一侧作等边三角形DBC，等边三角形ABE，等边三角形△ACF．

（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）△ABC满足何条件，四边形AEDF是菱形？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABE和△CBD为等边三角形，
∴∠ABE=∠CBD=60°，AB=BE=AE，CB=BD=CD，
∴∠ABC=∠EBD，
在△ABC和△EBD中

AB=EB

∠ABC=∠EBD

CB=DB

，
∴△ABC≌△EBD，
∴AC=DE，
∵△ACF为等边三角形，
∴AC=CF=AF，
∴AF=DE，
同理可证得△ACB≌△FCD，
∴AB=DF，
而AB=AE，
∴AE=DF，
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2） △ABC满足AB=AC时，四边形AEDF是菱形．理由如下：
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴当AE=AF时，四边形AEDF是菱形，
此时AB=AC，
∴当AB=AC时，四边形AEDF是菱形．