考点菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．分析根据菱形的四条边都相等，先判定△ABD是等边三角形，再根据菱形的性质可得∠BDF

Question

【考点】 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

【分析】 根据菱形的四条边都相等，先判定 △ABD 是等边三角形，再根据菱形的性质可得 ∠BDF ＝ ∠C ＝ 60 °，再求出 DF=CE ，然后利用“边角边”即可证明 △BDF≌△DCE ，从而判定 ① 正确；根据全等三角形对应角相等可得 ∠DBF ＝ ∠EDC ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出 ∠DMF ＝ ∠BDC ＝ 60 °，再根据平角等于 180 °即可求出 ∠BMD ＝ 120 °，从而判定 ② 正确；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求出 ∠ABM ＝ ∠ADH ，再利用“边角边”证明 △ABM 和 △ADH 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AH ＝ AM ，对应角相等可得 ∠BAM ＝ ∠DAH ，然后求出 ∠MAH ＝ ∠BAD ＝ 60 °，从而判定出 △AMH 是等边三角形，判定出 ③ 正确；根据全等三角形的面积相等可得 △AMH 的面积等于四边形 ABMD 的面积，然后判定出 ④ 错误．

【解答】 在菱形 ABCD 中， ∵AB ＝ BD ，

∴AB ＝ BD ＝ AD ，

∴△ABD 是等边三角形，

∴ 根据菱形的性质可得 ∠BDF ＝ ∠C ＝ 60 °，

∵BE ＝ CF ，

∴BC － BE ＝ CD － CF ，

即 CE ＝ DF ，

在 △BDF 和 △DCE 中， CE ＝ DF ； ∠BDF ＝ ∠C ＝ 60 °； BD ＝ CD ，

∴△BDF≌△DCE （ SAS ），故 ① 小题正确；

∴∠DBF ＝ ∠EDC ，

∵∠DMF ＝ ∠DBF ＋ ∠BDE ＝ ∠EDC ＋ ∠BDE ＝ ∠BDC ＝ 60 °，

∴∠BMD ＝ 180 °－ ∠DMF ＝ 180 °－ 60 °＝ 120 °，故 ② 小题正确；

∵∠DEB ＝ ∠EDC ＋ ∠C ＝ ∠EDC ＋ 60 °， ∠ABM ＝ ∠ABD ＋ ∠DBF ＝ ∠DBF ＋ 60 °，

∴∠DEB ＝ ∠ABM ，

又 ∵AD∥BC ，

∴∠ADH ＝ ∠DEB ，

∴∠ADH ＝ ∠ABM ，

在 △ABM 和 △ADH 中， AB ＝ AD ； ∠ADH ＝ ∠ABM ； DH ＝ BM ，

∴△ ABM ≌△ ADH （ SAS ），

∴AH ＝ AM ， ∠BAM ＝ ∠DAH ，

∴∠MAH ＝ ∠MAD ＋ ∠DAH ＝ ∠MAD ＋ ∠BAM ＝ ∠BAD ＝ 60 °，

∴△AMH 是等边三角形，故 ③ 小题正确；

∵△ABM≌△ADH ，

∴△AMH 的面积等于四边形 ABMD 的面积，

又 ∵△AMH 的面积＝ AM · AM ＝ AM ² ，

∴S _{四边形 ABMD} ＝ AM ² ， S _{四边形 ABCD} ≠ S _{四边形 ABMD} ，故 ④ 小题错误，

综上所述，正确的是 ①②③ 共 3 个．

故选 C ．

【点评】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，题目较为复杂，特别是图形的识别有难度，从图形中准确确定出全等三角形并找出全等的条件是解题的关键．

Answer 1

若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ___________ 。