已知二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,其图像顶点为D.（3）若点P是此二次函数图像上的点,且∠PAB=∠ACB,试求点P的坐标

Question

已知二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,其
图像顶点为D. （3）若点P是此二次函数图像上的点,且∠PAB=∠ACB,试求点P的坐标

Answer 1

二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),有：1*3=3/a,a=1,1+3= -b/a,b=-4；故：（1）此二次函数的解析式y=x²-4x+3；x=0时y=3,交y轴于点C,故C（0,3）；y=x²-4x+3=（x-2）²-1,其图像顶点为D（2,-1）；（2）△ABD与△BCO相似证明：OC=OB=3,故△BCO等腰直角三角形； 由A（1,0）、B（3,0）、D（2,-1）可求出AD=BD=√2,和AD²+BD²=AB²,故△ABD等腰直角三角形；所以：）△ABD与△BCO相似.（3）tan∠ACB =tan（∠OCB - ∠ACO） =（tan∠OCB - tan∠ACO）/(1 + tan∠OCB tan∠ACO) =（1 - 1/3）/(1 + 1*1/3 ) = 1/2令过A（1,0）的直线为y=k（x-1）,因∠PAB=∠ACB,故k=±tan∠ACB=±1/2 故：y=±（x-1）/2,分别与y=x²-4x+3联立方程组得：x=1、x=7/2、x=5/2；对应y=0、y=5/4、y= -3/4、因A（1,0）,所以：P（7/2,5/4）或P（5/2,-3/4）.更上一层楼!