某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆D的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透

Question

某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆D的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且≥.设∠EOF＝θ，透光区域的面积为S.

(1) 求S关于θ的函数关系式，并求出定义域．

(2) 根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．

Answer 1

 (1) 过点O作OH⊥FG于点H，则∠OFH＝∠EOF＝θ，

所以OH＝OFsinθ＝sinθ，

FH＝OFcosθ＝cosθ.(2分)

所以S＝4S_△OFH＋4S_扇形OEF

＝2sinθcosθ＋4×

＝sin2θ＋2θ，(6分)

因为≥，所以sinθ≥，

所以定义域为

(2) 矩形窗面的面积为S_矩形＝AD·AB＝2×2sinθ＝4sinθ.

则透光区域与矩形窗面的面积比值为

.

因为≤θ<，所以sin2θ≤，

所以sin2θ－θ<0，故f′(θ)<0，

所以函数f(θ)在上单调减．

所以当θ＝时，f(θ)有最大值＋，此时AB＝2sinθ＝1(m)．(14分)

答：(1) S关于θ的函数关系式为S＝sin2θ＋2θ，定义域为；

(2) 透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB的长度为1m.(16分)