如图，已知抛物线y=2x2-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点

Question

如图，已知抛物线y=2x²-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；
（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l₁与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；
（3）过点D（m，0）（其中m>1）且与x轴垂直的直线l₂上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．

Answer 1

（1）∵y=2x²-2，
∴当y=0时，2x²-2=0，x=±1，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2，
又当x=0时，y=-2，
∴点C的坐标为（0，-2），OC=2，
∴S_△ABC=(1)/(2)AB•OC=(1)/(2)×2×2=2；

（2）将y=6代入y=2x²-2，
得2x²-2=6，x=±2，
∴点M的坐标为（-2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4．
∵平行四边形的面积为8，
∴MN边上的高为：8÷4=2，
∴P点纵坐标为6±2．
①当P点纵坐标为6+2=8时，2x²-2=8，x=±√(5)，
∴点P的坐标为（√(5)，8）或（-√(5)，8）；
②当P点纵坐标为6-2=4时，2x²-2=4，x=±√(3)，
∴点P的坐标为（√(3)，4）或（-√(3)，4）；

（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-2），
∴OB=1，OC=2．
∵∠QDB=∠BOC=90°，
∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，
则(OB)/(DB)=(OC)/(DQ)，即(1)/(m-1)=(2)/(DQ)，
解得DQ=2（m-1）=2m-2，
②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，
则(OB)/(DQ)=(OC)/(DB)，即(1)/(DQ)=(2)/(m-1)，
解得DQ=(m-1)/(2)．
综上所述，线段QD的长为2m-2或(m-1)/(2)．