设直线l的方程为y=kx-1，等轴双曲线C：x2-y2=a2（a＞0）的中心在原点，右焦点坐标为（2，0）．（1）求双曲线方程；（2）设直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，记AB中点为M，求k的取值

Question

设直线l的方程为y=kx-1，等轴双曲线C：x²-y²=a²（a＞0）的中心在原点，右焦点坐标为（ √(2)，0）．
（1）求双曲线方程；
（2）设直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，记AB中点为M，求k的取值范围，并用k表示M点的坐标．
（3）设点Q（-1，0），求直线QM在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

（1）由条件c＝√(2)，∵c²=a²+b²=2a²，∴a=1，
所以双曲线方程为x²-y²=1．                    
（2）由

y＝kx−1

x2−y2＝1

得（1-k²）x²+2kx-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因此

1−k2≠0

△＝4k2+8(1−k2)＞0

x1+x2＝(−2k)/(1−k2)＞0

x1x2＝(−2)/(1−k2)＞0

解得

1＜k2＜2

k＞0

，因此k∈（1，√(2)）
并且(x1+x2)/(2)＝(k)/(k2−1)∴(y1+y2)/(2)＝k•(k)/(k2−1)−1＝(1)/(k2−1)，
所以M((k)/(k2−1)，(1)/(k2−1))．                            
（3）直线MQ的方程为y＝((1)/(k2−1))/((k)/(k2−1)+1)(x+1)，
令x=0，得y＝(1)/(k2+k−1)＝(1)/((k+(1)/(2))2−(5)/(4))，
∵k∈(1，√(2))∴(k+(1)/(2))2−(5)/(4)∈(1，√(2)+1)，∴y∈(√(2)−1，1)