（2011•蓝山县模拟）若函数y=f（x）（x∈D）同时满足下列条件：（1）f（x）在D内为单调函数；（2）f（x）的值域为D的子集，则称此函数为D内的“保值函数”．已知函数f（x）=ax+b−3lna，g（

Question

（2011•蓝山县模拟）若函数y=f（x）（x∈D）同时满足下列条件：
（1）f（x）在D内为单调函数；
（2）f（x）的值域为D的子集，则称此函数为D内的“保值函数”．
已知函数f（x）=(ax+b−3)/(lna)，g（x）=ax²+b．
①当a=2时，f（x）=(ax+b−3)/(lna)是[0，+∞）内的“保值函数”，则b的最小值为______；
②当-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1时，g（x）=ax²+b是[0，1]内的“保值函数”的概率为

(1)/(4)

(1)/(4)

．

Answer 1

①，根据题意，a=2，则f（x）=(2x+b−3)/(ln2)，
f′（x）=2^x＞0，则f（x）在[0，+∞）为增函数，
故f（x）的最小值为f（0）=(b−2)/(ln2)，其最大值不存在，则f（x）的值域为[(b−2)/(ln2)，+∞），
又由f（x）在[0，+∞）是“保值函数”，
则有(b−2)/(ln2)≥0，解可得b≥2；
故b的最小值为2．
②，根据题意，-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1，
则a、b确定的区域为边长为2的正方形，其面积为4；
对于f（x），有f′（x）=2ax，x∈[0，1]，
当-1≤a＜0时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
则f（x）的最大值为f（0）=b，最小值为f（1）=a+b，则f（x）的值域为[a+b，a]，
若f（x）为保值函数，则有

0≤a+b

a≤1

，
其表示的区域为阴影三角形A，面积为(1×1)/(2)=(1)/(2)，
当0＜a≤1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
则f（x）的最小值为f（0）=b，最大值为f（1）=a+b，则f（x）的值域为[a，a+b]，
若f（x）为保值函数，则有

b≥0

a+b≤1

，
其表示的区域为阴影三角形B，面积为(1×1)/(2)=(1)/(2)；
f（x）为保值函数对应区域的面积为1；
则f（x）为保值函数的概率为(1)/(4)；
故答案为①2，②(1)/(4)．