设f（x，y）在全平面有连续偏导数，曲线积分∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且∫(t，t2)(0，0)f（x，y）dx+xcosydy=t2，求f（x，y）．

Question

设f（x，y）在全平面有连续偏导数，曲线积分∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且

∫	(t，t2) (0，0)

f（x，y）dx+xcosydy=t²，求f（x，y）．

Answer 1

由于曲线积分∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关
∴(∂f(x，y))/(∂y)＝(∂)/(∂x)(xcosy)，即f′_y=cosy
∴f（x，y）=siny+g（x），其中g（x）是只含有变量x的函数
又

∫	(t，t2) (0，0)

f(x，y)dx+xcosydy＝

∫

t 0

f(x，0)dx+

∫

t2 0

tcosydy=

∫

t 0

f(x，0)dx+tsint2=t²，
∴上式对t求导，得
f（t，0）+sint²+2t²cost²=2t
即：f（t，0）=2t-sint²-2t²cost²
即：f（x，0）=2x-sinx²-2x²cosx²
又由f（x，y）=siny+g（x），知
f（x，0）=g（x）
∴g（x）=2x-sinx²-2x²cosx²
∴f（x，y）=siny+2x-sinx²-2x²cosx²