如图，在半径为1的扇形AOB中∠AOB=45°，P为弧AB上一动点（不与A，B重合），以OP为对角线作正方形OEPF，分别交OA，OB于M，N，给出以下结论：①当点P为弧AB中点时，△OFN≌△OEM；②当点P为弧AB

Question

如图，在半径为1的扇形AOB中∠AOB=45°，P为弧AB上一动点（不与A，B重合），以OP为对角线作正方形OEPF，分别交OA，OB于M，N，给出以下结论：
①当点P为弧AB中点时，△OFN≌△OEM；
②当点P为弧AB终点时，MN∥EF；
③当P在弧AB上运动时，EM+NF=MN；
④当P在弧AB上运动时，∠PNM=45°．
其中所有正确结论的序号是___．

Answer 1

①正确；理由如下：连接OP，如图1所示：
∵点P为弧AB中点，
∴

BP

=

AP

，
∴∠BOP=∠AOP=(1)/(2)∠AOB=22.5°，
∵四边形OEPF是正方形，
∴OF=PF=PE=OE，∠EOF=∠OFN=∠OEM=90°，∠POF=∠POE=45°，
∴∠FON=∠EOM，
在△OFN和△OEM中，

∠OFN=∠OEM

OF=OE

∠FON=∠EOM

，
∴△OFN≌△OEM（ASA）；
②正确；理由如下：
∵△OFN≌△OEM，
∴FN=EM，
∴PN=PM，
∴PN：FN=PM：EM，
∴MN∥EF；
③正确；延长ME至D，使ED=NF，连接OD；如图2所示：
则∠OED=90°，
在△OED和△OFN中，

OE=OF

∠OED=∠OFN=90°

ED=FN

，
∴△OED≌△OFN（SAS），
∴OD=ON，∠EOD=∠FON，
∴∠NOD=90°，
∵∠AOB=45°，
∴∠MOD=45°，
∴∠MOD=∠MON，
在△MOD和△MON中，

OD=ON

∠MOD=∠MON

OM=OM

，
∴△MOD≌△MON（SAS），
∴MD=MN，
即EM+ED=MN，
∴EM+NF=MN；
④不正确；∵点P在弧AB上运动，
∴∠PNM不一定等于45°；
正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．