初一数学图形问题有A、B、C三种不同型号的卡片,每种卡片各有k张3、如图,有A、B、C三种不同型号的卡片,每种卡片各有k张.其中A型卡片是边长为a的正方形,B型卡片是长为b、宽为a的长方形,C型

Question

初一数学图形问题有A、B、C三种不同型号的卡片,每种卡片各有k张
3、如图,有A、B、C三种不同型号的卡片,每种卡片各有k张.其中A型卡片是边长为a的正方形,B型卡片是长为b、宽为a的长方形,C型卡片是边长为b的正方形．从其中取出若干张卡片,每种卡片至少取一张,把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙,也不能有重合部分）．
尝试操作：若k =10,请选取适当的卡片拼成一个边长为(2a+b)的正方形,画出示意图.
若k =20,①共取出50张卡片,取出的这些卡片能否拼成一个正方形?请简要说明理由；②可以拼成 ▲ 种不同的正方形.拓展应用：上述A、B、C型的卡片各若干张（足够多）,已知：a=2b,现共取出2500张卡片,拼成一个正方形,求可以拼成的正方形中面积最大值.（用含a的代数式表示）.

Answer 1

①50张卡片不能拼成一个正方形；理由如下：
∵k=20﹤50
∴50张卡片不是单一类型
∵a²＋2ab＋b²＝﹙a＋b﹚²
∴1张A,2张B,1张C能拼成一个大的正方形
于是设50张卡片中A,C各x张,B2x张；则4x＝50
解得x＝12.5（张）,没有实际意义；
②若2500张A按50×50可拼成一个正方形,其面积=﹙50a﹚²＝2500a²
若2500张C按50×50可拼成一个正方形,其面积=﹙50b﹚²＝﹙25a﹚²＝625a²
若2500张B,先每每2张拼成一个边长a的正方形,这样的正方形1250个,因为1250不是完全平方整数,所以2500张B不能拼成一个大的正方形；
若2500张A,B,C,先是1张A,2张B,1张C能拼成边长a＋b的正方形,625个边长a＋b的正方形按25×25可拼成一个正方形,其面积＝[25﹙a＋b﹚]²＝﹙75/2a﹚²＝5625/4a²﹤2500a²
∴可以拼成的正方形中面积的最大值是2500a².