如图，等边△ABC中，BD⊥AB，CD⊥AC，P为AB的中点，将△BDP沿DP对折至△EDP，延长PE交AC于点Q，DP，DQ分别交BC于M，N两点，连AE，下列结论：①∠PDQ=60°；②AE∥DP；③AC=6CQ；④AE=2PE其中正确的有（

Question

如图，等边△ABC中，BD⊥AB，CD⊥AC，P为AB的中点，将△BDP沿DP对折至△EDP，延长PE交AC于点Q，DP，DQ分别交BC于M，N两点，连AE，下列结论：
①∠PDQ=60°；②AE∥DP；③AC=6CQ；④AE=√(2)PE
其中正确的有（　　）

A．①②③
B．①②
C．①②④
D．①③

Answer 1

如图，

（1）连接AD，
△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∵BD⊥AB，CD⊥AC
∴∠ABD=∠ACD=90°
∵AD=AD
∴△ABD≌△ADC，
∴BD=CD，
且∠BDC=360°-90°×2-60°=120°；
△BDP沿DP对折得到△EDP，
∴BD=DE，∠BDP=∠EDP，∠PBD=∠BED=∠DEQ=90°
∴∠DEQ=∠DCQ
∴CD=DE，又DQ=DQ
∴△DCQ≌△DEQ，
∴∠CDQ=∠EDQ，
∴∠PDQ=∠EDP+∠EDQ=(1)/(2)（∠BDE+∠CDE）=60°；

（2）△BDP沿DP对折得到△EDP，
∵∠BPD=∠EPD，BP=PE，P为AB的中点，
∴BP=AP，
∴PE=AP
∴∠PAE=∠AEP
又∵∠BPQ=∠PAE+∠AEP=∠BPD+∠EPD
∴∠PAE=∠BPD
∴AE∥DP；

（3）设AB=2a，
则AP=a，AD=(4√(3))/(3)a，BD=DC=(2√(3))/(3)a

S_△ABC=S_△APQ+S_{四边形BPQC}=S_△APQ+S_{五边形BPQCD}-S_△BDC，
2a×√(3)a×(1)/(2)=(1)/(2)×（2a-x）×(√(3))/(2)a+(1)/(2)（x+a）×(2√(3))/(3)a×2-(1)/(2)×2a×(2√(3))/(3)a×(1)/(2)
整理解得x=(2)/(5)a，
即CQ=(2)/(5)a
AC：CQ=2a：(2)/(5)a=5
AC=5CQ；

（4）如果AE=√(2)PE，
说明△APE是等腰直角三角形，则可以推出C、Q两点重合，与题意不符．
所以假设不成立．