三角恒等变换公式的推理sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

Question

三角恒等变换公式的推理sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

Answer 1

先证cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
设M（cosa,sina),N(cosβ,sinβ)
则OM(->)=（cosa,sina),ON(->)=(cosβ,sinβ) ,｜OM｜＝｜ON｜＝1 ∴OM(->)＊ON(->) ＝｜OM｜＊｜ON｜cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
∴cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α-β)=cos[90°-(α-β)]=cos(90°-α+β)=cos(90°-a)cosb-sin(90°-a)cosb
=sinacosb-cosasinb