一种叫做“蹦极”的现代运动，可以用下面的实验来进行模拟，如图，在桌边插一个支架，在支架横臂的端点系上一根橡皮绳，其重力可不计，劲度系数为k，橡皮绳的弹力与其伸长的长度成

Question

一种叫做“蹦极”的现代运动，可以用下面的实验来进行模拟，如图，在桌边插一个支架，在支架横臂的端点系上一根橡皮绳，其重力可不计，劲度系数为k，橡皮绳的弹力与其伸长的长度成正比．橡皮绳另一端系一质量为m的小球，使小球从支架横臂高度处由静止下落，小球落到最低点时，便又被橡皮绳拉回然后再落下…．已知橡皮绳的弹性势能Ep＝(1)/(2)kx2，式中k为劲度系数，x为橡皮绳的伸长量或压缩量．若小球下落的最大高度是L，试求橡皮绳的自然长度？

Answer 1

小球运动过程中，只有重力和弹簧弹力做功，小球和橡皮绳组成的系统机械能守恒，小球下落到最低点时速度为零，则△E_k=0，
增加的弹性势能为：△Eρ＝(1)/(2)k(L−x0)2，
减少的重力势能为：△Ep′＝mgL，
则有：△E_p=△Ep′，
解得：x0＝L−√((2mgL)/(k))
答：橡皮绳的自然长度为L−√((2mgL)/(k))．