一个房间有4扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的．房间里一只燕子只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间．假定燕子飞向各扇窗子是等可

Question

一个房间有4扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的．房间里一只燕子只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间．假定燕子飞向各扇窗子是等可能的．
（1）假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；
（2）假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第η次试飞时飞出了房间，求试飞次数η的分布列及其数学期望．

Answer 1

（1）由题设条件知，燕子每次试飞出了房间的概率为(1)/(4)
∴燕子恰好在第2次试飞时出了房间的概率为P=(1−(1)/(4))×(1)/(4)=(3)/(16)
（2）由题设条件知P（η=1）=(1)/(4)，P（η=2）=(3)/(4)×(1)/(3)=(1)/(4)，P（η=3）=(3)/(4)×(2)/(3)×(1)/(2)=(1)/(4)，P（η=4）=(3)/(4)×(2)/(3)×(1)/(2)×1=(1)/(4)
∴试飞次数η的分布列如下：

η	1	2	3	4
P	(1)/(4)	(1)/(4)	(1)/(4)	(1)/(4)

∴试飞次数η的数学期望为E（η）=1×(1)/(4)+2×(1)/(4)+3×(1)/(4)+4×(1)/(4)=(5)/(2)．