1/2×2/6×3/2×4/6×5/2×6/6×7/2×...×99/2×100/6的结果正好是个最简分数,最简分数的分母是多少?这道题需要求出分子1×2×3×4×5...×99×100里面有97个因数2.怎么算出97个的?为什么这么算?

Question

1/2×2/6×3/2×4/6×5/2×6/6×7/2×...×99/2×100/6的结果正好是个最简分数,最简分数的分母是多少?
这道题需要求出分子1×2×3×4×5...×99×100里面有97个因数2.怎么算出97个的?
为什么这么算?

Answer 1

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * …… 100 中偶数积
2 * 4 * 6 * 8 * …… * 98 * 100 =
（2 * 1）* （2 * 2）*（2 * 3）*（2 * 4）*……*（2 * 50）= 2的50次方*（1 * 2 * 3 * 4 * 5 * …… * 50）,50个2；括号中1 * 2 * 3 * 4 * 5 * …… * 50的偶数积2 * 4 * 6 * 8 ……50 = （2 * 1）* （2 * 2）*（2 * 3）*（2 * 4）*……*（2 * 25）= 2的25次方*（1 * 2 * 3 *……25）,25个2；括号中1 * 2 * 3 *……* 25中偶数积 2 * 4 * ……*24 = （2 * 1）* （2 * 2）*（2 * 3）*（2 * 4）*……*（2 * 12）= 2的12次方 * （1 * 2 * 3 * 4 *……* 12）,12个2；以此方法类推,共计 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97,故共有97个2.
由题得,分子为奇数时,分母为2,分子为偶数时,分母为6,共50个2,50个6,又6 = 2 * 3,故分母有 100 个2,50个3.1到100,3个一组,可以分33组（即有33个3）,多出数字100,9个数字一组,可以分11组（因为9 = 3 * 3,与3的倍数有重复,故多出11个3）,多出数字100,27个一组,可以分为3组（多出3个3,与3、9的倍数有重复）,多出数字82、83…… 100,81个数字一组,可以分为一组（多出一个3）,多出82、83、……100.故共有33 + 11 + 3 + 1 = 48个3.也可用上述求2的个数的方法求.
故分子中含97个2、48个3,分母中含100个2、50个3,分子分母比较,分母多出3个2、2个3,故约分后,分子为 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 72.故最简分数的分母为 72.