一个三角形的一个角的角分线对边中线和垂线把这个角平分为四个角求这个三角形的三个角

Question

一个三角形的一个角的角分线对边中线和垂线把这个角平分为四个角求这个三角形的三个角

Answer 1

画图,三角形ABC,角A4等分.垂线AD,角平分线AE,中线AF依次与BC边相交于D、E、F（注意BC边上各点的顺序B-D-E-F-C）.设BC=a,AB=c,AC=b.由于角A4等分,角BAD=角EAD=角FAE=角CAF,又因为AD垂直于BE,可知三角形ABE为等腰三角形,AB=AE=c.利用角平分线定理,设EF=x.
x：（a/2）=EF：FC=AE：AC=AB：AC=BE：EC=（a/2-x）：（a/2+x）解之,得：
x=（2^0.5-1）a/2
DE=[(a/2)-x]/2=（2-2^0.5）a/2
AF:AD=EF:DE=[（2^0.5-1）a/2]:[（2-2^0.5）a/2]=2^0.5
所以cos角DAF=AD/AF=(2^0.5)/2
角DAF=45度.
角A=2角DAF=90度
角B=90度-角BAD=90度-角A/4=67.5度
角C=180度-角A-角B=22.5度