在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F是对角线ACS行的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动．（1）若G，H分别是AB，DC中点，求

Question

在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F是对角线ACS行的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动．

（1）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH始终是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
（3）若G，H分别是折线A-B-C，C-D-A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，当t为何值时，四边形EGFH为菱形．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC=√(32+42)=5，∠GAF=∠HCE，
∵G，H分别是AB，DC中点，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△AFG和△CEH中，

AG=CH

∠GAF=∠HCE

AF=CE

，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE，
同理：GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2） 由（1）得：BG=CH，BG∥CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH=BC=4，当EF=GH=4时，平行四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE=CF=t，EF=5-2t=4，
解得：t=0.5；
②AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4，
解得：t=4.5；
综上所述：当t为0.5s或4.5s时，四边形EGFH为矩形．
（3） 连接AG、CH，如图所示：
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∴OA=OC，AG=AH，
∴四边形AGCH是菱形，
∴AG=CG，
设AG=CG=x，则BG=4-x，
由勾股定理得：AB²+BG²=AG²，
即3²+（4-x）²=x²，
解得：x=(25)/(8)，
∴BG=4-(25)/(8)=(7)/(8)，
∴AB+BG=3+(7)/(8)=(31)/(8)，
即t为(31)/(8)s时，四边形EGFH为菱形．