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在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F是对角线ACS行的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为1cm/s,运动时间为t秒,当其中一个动点到达后就停止运动.(1)若G,H分别是AB,DC中点,求
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在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F是对角线ACS行的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为1cm/s,运动时间为t秒,当其中一个动点到达后就停止运动.

(1)若G,H分别是AB,DC中点,求证:四边形EGFH始终是平行四边形.
(2)在(1)条件下,当t为何值时,四边形EGFH为矩形.
(3)若G,H分别是折线A-B-C,C-D-A上的动点,与E,F相同的速度同时出发,当t为何值时,四边形EGFH为菱形.

(1)若G,H分别是AB,DC中点,求证:四边形EGFH始终是平行四边形.
(2)在(1)条件下,当t为何值时,四边形EGFH为矩形.
(3)若G,H分别是折线A-B-C,C-D-A上的动点,与E,F相同的速度同时出发,当t为何值时,四边形EGFH为菱形.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°,
∴AC=
=5,∠GAF=∠HCE,
∵G,H分别是AB,DC中点,
∴AG=BG,CH=DH,
∴AG=CH,
∵AE=CF,
∴AF=CE,
在△AFG和△CEH中,
,
∴△AFG≌△CEH(SAS),
∴GF=HE,
同理:GE=HF,
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2) 由(1)得:BG=CH,BG∥CH,
∴四边形BCHG是平行四边形,
∴GH=BC=4,当EF=GH=4时,平行四边形EGFH是矩形,分两种情况:
①AE=CF=t,EF=5-2t=4,
解得:t=0.5;
②AE=CF=t,EF=5-2(5-t)=4,
解得:t=4.5;
综上所述:当t为0.5s或4.5s时,四边形EGFH为矩形.
(3)
连接AG、CH,如图所示:
∵四边形EGFH为菱形,
∴GH⊥EF,OG=OH,OE=OF,
∴OA=OC,AG=AH,
∴四边形AGCH是菱形,
∴AG=CG,
设AG=CG=x,则BG=4-x,
由勾股定理得:AB2+BG2=AG2,
即32+(4-x)2=x2,
解得:x=
,
∴BG=4-
=
,
∴AB+BG=3+
=
,
即t为
s时,四边形EGFH为菱形.
∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°,
∴AC=
| 32+42 |
∵G,H分别是AB,DC中点,
∴AG=BG,CH=DH,
∴AG=CH,
∵AE=CF,
∴AF=CE,
在△AFG和△CEH中,
|
∴△AFG≌△CEH(SAS),
∴GF=HE,
同理:GE=HF,
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2) 由(1)得:BG=CH,BG∥CH,
∴四边形BCHG是平行四边形,
∴GH=BC=4,当EF=GH=4时,平行四边形EGFH是矩形,分两种情况:
①AE=CF=t,EF=5-2t=4,
解得:t=0.5;
②AE=CF=t,EF=5-2(5-t)=4,
解得:t=4.5;
综上所述:当t为0.5s或4.5s时,四边形EGFH为矩形.
(3)
连接AG、CH,如图所示:∵四边形EGFH为菱形,
∴GH⊥EF,OG=OH,OE=OF,
∴OA=OC,AG=AH,
∴四边形AGCH是菱形,
∴AG=CG,
设AG=CG=x,则BG=4-x,
由勾股定理得:AB2+BG2=AG2,
即32+(4-x)2=x2,
解得:x=
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∴BG=4-
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∴AB+BG=3+
| 7 |
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| 31 |
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即t为
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