某住宅有12户人家,他们的门牌号分别是1,2,3,……,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数字都小于6,并且门牌号

Question

某住宅有12户人家,他们的门牌号分别是1,2,3,……,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数字都小于6,并且门牌号码是9的这一家的电话号码也能被13整除,问这一家的电话号码是多少?

Answer 1

假设有一个自然数N,它同时是1、2、3、4……11、12的整数倍,那么：
N＋1一定是1的倍数
N＋2一定是2的倍数
N＋3一定是3的倍数
…………
N＋11一定是11的倍数
N＋12一定是12的倍数
那么这个数最小是：7×4×9×10×11＝27720
N可表示为27720k （k是自然数）
那么这12家的电话号码是27720k+1,27720k+2,27720k+3,…… 27720k+12
门牌号码是9的这一家的电话号码也能被13整除
那么27720k＋9是13的倍数
即(27716＋4)k+9是13的倍数
因为2132×13＝27716
所以4k+9是13的倍数,k可取值1,14,27,40……13的倍数加1
当k取1时,N是5位数,舍去
当k取14时,N＝27720×14＝388080
当k取27时,N＝27720×27＝748440,首数字大于6,舍去
这12家的电话号码如下：
388081＝1×388081
388082＝2×194041
388083＝3×129361
388084＝4×97021
388085＝5×77617
388086＝6×64681
388087＝7×55441
388088＝8×48511
388089＝9 ×43121＝13×29853
388090＝10×38809
388091＝11×35281
388092＝12×32341