（1997•新疆）已知如图⊙A和⊙B外切于点P，它们的半径分别为R和r，CD是它们的外公切线，切点分别为C、D，且CP的弧长为1．（1）求证：S阴影=(CD-1)R+r•CD2（2）当R=6cm，r=2cm时，求S阴影．

Question

（1997•新疆）已知如图⊙A和⊙B外切于点P，它们的半径分别为R和r，CD是它们的外公切线，切点分别为C、D，且

CP

的弧长为1．
（1）求证：S_阴影=((CD-1)R+r•CD)/(2)
（2）当R=6cm，r=2cm时，求S阴影．

Answer 1

（1）证明：连接AP、AC，
∵CD是⊙A、⊙B的公切线，
∴四边形ACDB是直角梯形，
∴S_梯形ACDB=(1)/(2)（AC+BD）•CD=(1)/(2)（R+r）•CD，
∵

CP

的弧长为1，
∴S_扇形CAP=(1)/(2)×1×R=(1)/(2)R，
∴S_阴影=S_梯形ACDB-S_扇形CAP=(1)/(2)（R+r）•CD-(1)/(2)R=((CD-1)R+r•CD)/(2)；

（2）过点B作BE⊥AC于E，
∵CD是它们的外公切线，切点分别为C、D，
∴AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴BE=CD，AE=AC-BD=R-r=6-2=4（cm），
∵AB=AP+PB=6+2=8（cm），
 在Rt△ABE中，BE=√(AB2-AE2)=4√(3)（cm），
∴CD=4√(3)cm，
∴S_阴影=((CD-1)R+r•CD)/(2)=((4√(3)-1)×6+2×4√(3))/(2)=16√(3)-3（cm²）．