（2014•达州一模）若函数f（x）=4x-k•2x+k+3有唯一零点，则实数k的取值范围是．

Question

（2014•达州一模）若函数f（x）=4^x-k•2^x+k+3有唯一零点，则实数k的取值范围是______．

Answer 1

设t=2^x，则t＞0，
则函数f（x）等价为y=g（t）=t²-k•t+k+3，在t＞0时有唯一零点，
若△=0时，有对称轴x=−(−k)/(2)＝(k)/(2)＞0，
即

△＝k2−4(k+3)＝0

(k)/(2)＞0

，
∴

k＝−2或k＝6

k＞0

，解得k=6．
若△＞0，即k＞6或k＜-2时，
满足g（0）＜0，
即g（0）=k+3＜0，
解得k＜-3，
此时k＜-3．
综上：实数k的取值范围是（-∞，-3）∪{6}．
故答案为：（-∞，-3）∪{6}．