等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。①若，BM=

Question

等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。
（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x。
①若，BM= ，求x的值；
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=15 ⁰ ？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

Answer 1

（1）见解析
（2）①
②     
③直角三角形  见解析

（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。
（2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。
②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得 ，
用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。
③由∠BAD=15 ⁰ 得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。
（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60 ⁰ ，∠ADM=∠APN=60 ⁰ 。∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。
（2）①易证△BPM∽△CAP，∴ ，
∵BN= ，AC=2，CP=2－x，∴ ，即 。
解得x= 或x= 。
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
∵△ADM≌△APN，∴ 。
∴ 。
如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。

在Rt△BPS中，∵∠P=60 ⁰ ，BP=x，
∴PS=BPsin60 ⁰ = x，BS=BPcos60 ⁰ = x。
∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－ x。
∴ 。
∴ 。
∴ 。
∴当x=1时，S的最小值为 。
③连接PG，设DE交AP于点O。

若∠BAD=15 ⁰ ，
∵∠DAP =60 ⁰ ，∴∠PAG =45 ⁰ 。
∵△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =45 ⁰ 。
∴∠PGA =90 ⁰ 。
设BG=t，
在Rt△BPG中，∠B=60 ⁰ ，∴BP=2t，PG= 。∴AG=PG= 。
∴ ，解得t= －1。∴BP=2t=2 －2。
∴当BP=2 －2时，∠BAD=15 ⁰ 。
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30 ^{0 。}
∵∠BAD=15 ⁰ ，∴易得∠AGO=45 ⁰ ，∠HAO=15 ⁰ ，∠EAH=45 ⁰ 。
设AO=a，则AD="AE=2" a，OD= a。∴DG=DO－GO=（ －1）a。
又∵∠BAD=15 ⁰ ，∠BAC=60 ⁰ ，∠ADO=30 ⁰ ，∴∠DHA=∠DAH=75 ⁰ 。
∵DH=AD=2a，
∴GH=DH－DG=2a－（ －1）a=（3－ ）a，
HE=2DO－DH=2 a－2a=2（ －1）a。
∵ ，
，
∴

作业帮用户 2017-09-27

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