已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查①a1•1a1≥1；②(a1+a2)(1a1+1a2)≥4；③(a1+a2+a3)(1a1+1a2+1a3)≥9．归纳出对a1，a2，…，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

Question

已知a_i＞0（i=1，2，…，n），考查
①a1•(1)/(a1)≥1；
②(a1+a2)((1)/(a1)+(1)/(a2))≥4；
③(a1+a2+a3)((1)/(a1)+(1)/(a2)+(1)/(a3))≥9．
归纳出对a₁，a₂，…，a_n都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

结论：（a₁+a₂+…+a_n）（(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(an)）≥n²…（3分）
证明：①当n=1时，显然成立；…（5分）
②假设当n=k时，不等式成立，
即：（a₁+a₂+…+a_k）（(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(ak)）≥k²…（7分）
那么，当n=k+1时，
（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）（(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(ak)+(1)/(ak+1)）
=（a₁+a₂+…+a_k）（(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(ak)）+a_k+1（(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(ak)）+(1)/(ak+1)（a₁+a₂+…+a_k）+1
≥k²+（(ak+1)/(a1)+(a1)/(ak+1)）+（