粒子在某一时刻的确定状态是如何的?

Question

粒子在某一时刻的确定状态是如何的?

Answer 1

在经典物理中,粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象,即所谓质点.质量在这里是新概念,我们可将其定义为包含物质量的多少,一个西瓜,比西瓜仔的质量大,因为西瓜里包含的物质的量更大.

为叙述的简介,我们现在可把粒子等同于质点.要描述一个质点的运动状态,我们需要知道其位置和质量（x,m）,这是一个抽象的数学表达.

但我们漏掉了时间,时间也是一个直观的概念,这里我们可把时间描述为一个时钟,我们会发现当指针指到不同位置时,质点的位置可能不同,于是指针的位置就定 义了时刻t.有了时刻 t,我们对质点的描述就变成了（x,t,m）,由此可定义速度v,现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m）.

在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念,我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的,或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的.

以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的,是可以操作的.按照以上思路进行研究,最终诞生了牛顿的经典力学.这里我们可简单地用两个公式：F=ma（牛顿第二定律） 和 （万有引力公式） 来代表牛顿力学.前者是质点的运动方程,用数学的语言说是一个关于位置x的二阶微分方程,所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x和速度v即可求出以后任意时刻t质点所处的位置,即x(t),我们称之为轨迹.

需要强调的是一旦我们知道t=0时x和v的精确值（没任何误差）,x(t)的取值也是精确的,即我们得到是对质点未来演化的精确预测,并且这个求 解对t<0也精确成立,这意味着我们还可精确地反演质点的历史.这些结论都是由数学理论严格保证的,即轨迹是一根理想的线.
经典的多粒子系统
现在我们就有了一个关于世界的整体图像：宇宙是由很多质点构成的复杂系统,它们两两之间相互作用由决 定,对每一个质点我们又可列出∑F=ma这样的运动方程,∑F表示每个质点所受的合力,与其他质点的位置有关,因此这是一个联立的二阶微分方程组.还是根 据数学的理论,如果我们知道了初始时刻t=0时每个质点的位置和速度,我们即可无限精确地知道系统内每个粒子的轨迹.这在哲学上被引申为所谓的决定论,我们会倾向于相信：世界只不过是个巨大的钟表,人生的命运是确定的,事物的演化也是确定的等等.

当然要想在某一时刻同时测量出全世界所有粒子的位置和速度是不可能的,但这种操作上的不可能性是否意味着--“某一时刻全世界所有粒子具有确定的位置和速 度”--本身就不存在呢?有些人可能会持怀疑的态度,这个可称为怀疑主义的态度,由此引申怀疑主义者会怀疑整个世界的实在性,怀疑人类是否有能力认识世 界.另一些人会倾向于相信,当然这种相信并无充分的证据,相信的好处是我们可建立起一个关于世界的整体图像,整个世界变得有秩序了,可以理解了.

不管我们是否相信决定论,牛顿力学本身获得了巨大成功,解释了大到行星运动,小到苹果落地等广泛的现象,因此主流物理学家在100多年前相信牛顿力学提供了描述整个世界的基础.
根据量子力学,粒子的运动状态是由波函数来描述的,其实经典的波动也是由波函数来描述的.量子力学中的波 函数和经典波动波函数的区别在于：经典波动波函数有确切的物理含义,比如电磁波波函数表示的是变化的电场或磁场；量子力学中波函数不对应确切的物理含义, 它一般是复函数,而物理量（如位置、动量）的取值是实数,但物理系统中所有信息却又都包含在波函数中,即根据波函数我们可求出物理量的取值.从数学形式上 看波函数很类似经典波动的波函数,因为经典波动为计算方便也常常表示为复函数的形式；而量子力学中波函数在某些特定情况下也可表示为实函数的形式.这给思 考量子力学问题带来很多直观上的好处,因为想象一个经典波动总是很容易的.
最简单的波函数是单色平面波：,它所描述粒子的动量是：,能量是：（前者是德布罗意的贡献,后者是普朗克等的贡献）.动量的表达式很有用,稍作变形：,这个公式代表了波动语言（左边）和粒子语言（右边）的对应关系.

如前所述,波函数本身没有物理意义,但其绝对值的平方代表发现粒子的几率密度,这叫做波函数的统计解释（或玻恩解释）.因此粒子的平均位置：.
用波函数的统计解释,可以很容易地理解费曼双缝实验,单电子通过双缝,可用波函数表示,这里的1和2并不是表示1、2两个电子,单电子意味着只有一个电子,和都是这个电子波函数的一部分,1 对应的是上缝,2对应的是下缝.电子的几率分布为：,这相当于经典光学中两束光波的迭加,体现为明暗相间的条纹,从数学上说它是由于干涉项导致的.
我们继续对最简单的波函数：做一些讨论,假设我们设法测量一下粒子的位置x[2].

根据统计解释,波函数绝对值平方是粒子的分布几率,由于波函数的振幅是常数,粒子是等几率分布的,因此我 们可能在空间中任意地方等几率地观测到粒子.那么对于一次具体的测量,粒子将出现在何位置?我们没法预测,只知道会在空间任何地方,而按照经典的粒子图 像,我们总可在一定精度内测出经典粒子的位置.几率本质地出现在量子力学中,这和经典力学决定论式的世界观有本质的区别.

暂不讨论我们是如何测量粒子位置的,假设t=0时我们完成了一次成功的测量,我们会观测到粒子在某确定位置,现在我们问：在t=0之前的一瞬间粒子在什么地方?关于这个问题有两种答案[3]：

答案1：虽然我们无法精确地知道粒子在什么地方,但我们可推测其一定在附近,因为根据狭义相对论,粒子运动速度存在一上限,因此在测量前一瞬间,粒子应在附近.那么在测量前一瞬间,波函数还是单色平面波吗?因为我们考虑的是测量前,在此操作前波函数无任何理由发生变化,因此应当仍然是单色平面波.但根据量子力学统计解释,粒子应等几率地分布在整个空间,而不是仅仅分布在的附近.看来根据量子力学无法得到关于粒子的全部信息,从这个角度说量子力学是不完备的.因此一定还存在某种未知因素,决定了粒子在附近,因为不知道该因素到底是什么,我们就管它叫隐变量.这是对量子力学的一种态度,即认为量子力学是不完备的,我们需要发展一种新理论取而代之.持这种观点的物理学家有爱因斯坦、玻姆等.

答案2：这一派物理学家认为基于波函数和统计解释的量子力学是完备的,我们可称之为正统派,对创建量子力学有直接贡献的玻尔、玻恩、海森堡等都属于这一派.正统派提出“波函数坍缩”来描述量子力学的测量过程.测量前是单色平面波,粒子等几率地处在整个空间,一次成功的测量意味着在这一瞬间,波函数坍缩为一位置在附近的尖峰形函数（数学上叫δ函数,δ函数仅在取值不为0,其他地方都是0）.根据统计解释,粒子只能在位置,自然这是一次成功的测量,因为我们得到了唯一的位置,在t=0之后,我们再做测量,也只能获得这一确定性的结论,因为尖峰函数再坍缩也只能是尖峰函数.那么正统解释是否意味着与狭义相对论矛盾呢?或者说我们是否可利用波函数坍缩来构造一个可以携带信息的超过光速的信号呢?仔细的分析否定了这种设想,但在这里我们暂不展开讨论.
波函数坍缩
这两派意见,到底哪一派正确呢?贝尔[4]后来针对隐变量理论提出了一个不等式--贝尔不等式,如果隐变量理论成立,不等式成立；如果正统解释成立,则不等式可以不成立.但迄今为止的各种实验对隐变量理论都是不利的,或者说量子力学是完备的,波函数中包括了粒子运动的所有信息.