某工厂要制作一个容积为32立方米的长方形无盖水箱,试问水箱的长、宽、高各等于多少时,所用材料最省?尽量把过程写得详细一点,写出必要的方程过程,这是我们大一期末的一个数学题

Question

某工厂要制作一个容积为32立方米的长方形无盖水箱,试问水箱的长、宽、高各等于多少时,所用材料最省?
尽量把过程写得详细一点,写出必要的方程过程,这是我们大一期末的一个数学题

Answer 1

设长宽高分别为：x米、y米、z米
xyz=32 要使所用的材料最省,即使水箱表面积最小
表面积为：s=xy+2yz+2xz
构造拉格朗日方程：φ（x,y,z,λ)=xy+2yz+2xz+λ(32-xyz)
然后分别对x,y,z,λ求偏导并使偏导数等于0：əφ/əx=y+2z-λyz=0
əφ/əy=x+2z-λxz=0
əφ/əz=2y+2x-λxy=0
əφ/əλ=32-xyz=0
可解得：x=y=4,z=2
此时用材料最省,为：xy+2yz+2xz=4*4+2*4*2+2*4*2=48（平方米）