在RT三角形,B=90度,AB=2,tanA=√2/4,以AB两点为焦点的椭圆E过点C,建立适当的坐标系求椭圆E的方程.过A的直线l与椭圆E交于MN两点,若角MBN为钝角,求直线L的斜率K的取值范围

Question

在RT三角形,B=90度,AB=2,tanA=√2/4,以AB两点为焦点的椭圆E过点C,建立适当的坐标系 求椭圆E的方程.
过A的直线l与椭圆E交于MN两点,若角MBN为钝角,求直线L的斜率K的取值范围

Answer 1

BC/AB=tanA=√2/4
∴BC=√2/2即b²/a=√2/2
∵c=1∴解得a=√2 b=1
∴椭圆方程为x²/2 - y² =1
当直线的斜率不存在时,MB=NB=3/√2 ,MN=√2
∴∠MBN为锐角.不满足
当直线的斜率存在时.设直线方程为y=k(x+1)
与椭圆方程联立得（1-2k²)x²-4k²x-2k²-2=0 ①
δ＞0得k²＜1
设M(x1,y1) N(x2,y2)
∴向量BM=（x1-1,y1) 向量BN=（x2-1,y2)
∵∠MBN为钝角∴向量BM·向量BN＜0
即(x1-1)(x2-1)+y1y2＜0
∴(1+k²)x1x2+(k²-1)(x1+x2)+k²+1＜0 ②
由①知x1x2=(-2k²-2)/（1-2k²) x1+x2=4k²/（1-2k²)
代入②得（2k的四次方+7k²+1)/(2k²-1)＜0
∴2k²-1＜0
∴k²＜1/2
∴-√2/2＜k＜√2/2