关于微积分思想与维度的关系小弟刚学二重积分,书上是通过把一个三维空间上物体划分为平面然后求两次积分,那个积分公式最后得出了一个关于自变量X的体积函数,小弟觉得如果我们有关于

Question

关于微积分思想与维度的关系
小弟刚学二重积分,书上是通过把一个三维空间上物体划分为平面然后求两次积分,那个积分公式最后得出了一个关于自变量X的体积函数,小弟觉得如果我们有关于X的一点,是不是可以让它通过叠加得出一条线,让这条线叠加得到面积,再让这个面叠加得到体积,这样逆过来就是微分,求二重积分就相当于把一个面(自变量X,Y)叠加为体积,计算时我们就通过这个面来减少变量,感觉像是把维度减少了,是不是微积分和维度有什么关系?

Answer 1

很简单,因为微积分的起源就是用于解决一些实际问题的,而在我们所处的世界是三维的,所以很多实际问题可以先转化成几何等数学模型,然后用微积分的方法解答.
对于你的问题,更准确的说是用空间几何的实际应用来理解微积分.这反映了你不错的空间想象能力,我当年也是这么干的.
不过建议你只用维度这个思想来理解微积分的原理,而不要过多纠缠他们之间的关系：很简单的,我曾经尝试把微积分思想与维度的关系推广至四维,然后我就崩溃了.因为想象一个完备的四维空间（不过推荐查看一下《时间简史》里的光锥模型）本身就是件头疼到让人走火入魔的事,而且微积分在空间中的应用只是其中的一个分支,不是什么问题（至少是在分析的最初阶段）都可以建成x,y,z的坐标系.
以上是愚人拙见.支持你继续进行深入的思考!
还有推荐一下第一推动系列的《数学：确定性的丧失》,或许有所启发.