如图，长方形OABC的顶点A、C、O都在坐标轴上，点B的坐标为（9，4），E为BC边上一点，CE=6．（1）求点E的坐标和△ABE的周长；（2）若P是OA上的一个动点，它以每秒1个单位长度的速度从点O出

Question

如图，长方形OABC的顶点A、C、O都在坐标轴上，点B的坐标为（9，4），E为BC边上一点，CE=6．

（1）求点E的坐标和△ABE的周长；
（2）若P是OA上的一个动点，它以每秒1个单位长度的速度从点O出发沿射线OA运动，设点P运动的时间为t秒（t>0）．
①当t为何值时，△PAE的面积等于△PCE的面积的一半；
②当t为何值时，△PAE为直角三角形．

Answer 1

（1）如图，∵长方形OABC中，点B的坐标为（9，4），
∴CB=9，CO=4=AB，
又∵CE=6，
∴E（6，4），BE=3，
∵∠B=90°，
∴Rt△ABE中，AE=√(AB2+BE2)=5，
∴△ABE的周长：3+4+5=12；

（2）①∵OP=1×t=t，
∴AP=9-t，
∵△PAE的面积等于△PCE的面积的一半，
∴当P在OA之间时，
根据(1)/(2)×AP×AB=(1)/(2)×CE×CO×(1)/(2)，可得
（9-t）×4=6×4×(1)/(2)，
解得t=6；
当P在OA的延长线上时，
根据(1)/(2)×AP×AB=(1)/(2)×CE×CO×(1)/(2)，可得
（t-9）×4=6×4×(1)/(2)，
解得t=12；
综上所述，当t为6或12秒时，△PAE的面积等于△PCE的面积的一半；
  
②如图，当∠PEA=90°时，△PAE为直角三角形，过点P作PF⊥BC于F，则
CF=OP=t，EF=6-t，BF=6-t+3=9-t=AP，
由勾股定理可得，PE²+AE²=AP²，
即（PF²+EF²）+AE²=AP²，
∴4²+（6-t）²+5²=（9-t）²，
解得t=(2)/(3)；
当∠EPA=90°时，△PAE为直角三角形，EP⊥OA，
此时，PE=OC=4，
∴Rt△APE中，AP=√(AE2-PE2)=3，
∴OP=9-3=6，
∴t=6；
∵EA与AP不垂直，
∴∠PAE不可能为直角；
综上所述，当t为6或(2)/(3)秒时，△PAE为直角三角形．