已知数列{an}的通项公式为an=cosnπ2，{bn}是等差数列，cn=an+bn，数列{cn}的前n项和为Sn，且c10=12，S8=1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{c4n}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=cos(nπ)/(2)，{b_n}是等差数列，c_n=a_n+b_n，数列{c_n}的前n项和为S_n，且c₁₀=(1)/(2)，S₈=1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c 4n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）a_n=cos(nπ)/(2)，{b_n}是公差为d的等差数列，
可得c_n=a_n+b_n=cos(nπ)/(2)+b₁+（n-1）d，
由c₁₀=(1)/(2)，S₈=1，可得cos5π+b₁+9d=(1)/(2)，
即为b₁+9d=(3)/(2)；①
又cos(π)/(2)+cosπ+cos(3π)/(2)+cos2π+…+cos4π=0-1+0+1+…+1=0，
则8a₁+28d=1，②
由①②解得b₁=-(3)/(4)，d=(1)/(4)，
可得b_n=b₁+（n-1）d=-(3)/(4)+(1)/(4)（n-1）=(n-4)/(4)；
（Ⅱ）c 4n=a 4n+b 4n=cos(4nπ)/(2)+(4n-4)/(4)
=cos2^2n-1π+4^n-1-1=1+4^n-1-1=4^n-1，
即有数列{c 4n}是以1为首项，公比为4的等比数列，
则前n项和T_n=(1-4n)/(1-4)=(4n-1)/(3)．