一道微分方程解的问题设线性无关函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的解,C1C2是待定常数.则此方程的通解是:A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-

Question

一道微分方程解的问题设线性无关函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的解,C1 C2是待定常数.则此方程的通解是: A. C1y1+C2y2+y3 B. C1y1+C2y2-(C1+C2)y3 C. C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3 D. C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3 注:解释说y1-y3,y2-y3为对应齐次方程的特解,凭什么这么说呢，线性无关在这里又该怎么分解,请高人解答,谢谢

Answer 1

y1''+Py1'+Qy1=f y3''+Py3'+Qy3=f 两式一减就得出y1-y3满足齐次方程y''+Py'+Qy=0，所以是齐次方程的特解。y2-y3的情况一样。 因为线性无关，所以y1-y3和y2-y3就构成了非齐次方程的基本解矩阵Φ，再加上一个特解y3，CΦ+y3就是非齐次方程的通解。 答案D。